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三维波动方程的泊松公式

传说中计算机的尽头是数学

书本个人总结:

由于物理学,力学和工程技术等方面的许多问题都可以归结为偏微分方程的定解问题,而在数学物理方程这门课上,我们的主要任务便是求解这些定解问题,也就是说在已经列出的方程与定解条件之后,怎样去求既满足方程又满足定解条件的解。

而我们的常用的解决偏微分方程的方法的统一思路是将一个偏微分方程的求解设法转化成一个常微分方程问题的求解

而我们在学习过程中接触到的常用方法有:分离变量法行波法积分变换法拉普拉斯方程的格林函数法

第二章:

本章主要介绍了分离变量法,介绍了有界弦的自由振动,有限长杆上的热传导,圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题等泛定方程和边界条件都是齐次的偏微分方程的求解,还介绍了非齐次方程的解法,非齐次边界条件的处理等等。

A. 其中泛定方程和边界条件都是齐次的偏微分方程的求解步骤,取有界弦的自由振动的方程求解作为例子,定解问题为:

第一步:分离变量

目标:分离变量形式的非零解

结果:函数

满足的常微分方程和边界条件以及

满足的常微分方程

条件:偏微分方程和边界条件都是齐次的

第二步:求解本征值问题

利用和边界条件和求出本征值和本函数:

本征值:

本征函数:

第三步:求特解,并叠加出一般解

这样的特解都满足齐次偏微分方程和齐次边界条件

第四步:利用本征函数正交性定叠加系数

总结:通过以上例子我们可以得出分离变量的一般方法,总的来说可以分成四步:

一.首先将偏微分方程的定解问题通过分离变量转化为常微分方程的定解问题。

二.确定特征值和特征函数。由于特征值是要经过叠加的,所以用来确定特征函数的方程与条件,当函数经过叠加之后仍旧要满足。当边界条件是齐次时,求特征函数就是求一个常分方程满足零边界条件的非零解。

三.定出特征值和特征函数后,再解其他的常微分方程,把得到的解与特征函数乘起来成为Un(x,t).

四.最后为了使解满足其余的定解条件,需要把U叠加起来成为级数形式,叠加出一般解,再利用本征函数的正交性定叠加系数

B.对于非齐次泛定方程非齐次边界条件的解法,求解的基本思路是: 先由对应的齐次方程和齐次边界条件求出特征值和特征函数,再由此直接构造出级数形式解.最后利用泛定方程和初始条件定出级数展开式的系数。

有源传导方程的定解问题作为例子:

第一步:将解按特征函数展开:假定微分方程是齐次方程,在齐次边界条件下求出特征值和

特征函数:

利用此特征函数,假定方程的解为:

结论:显然这样的解对一切的Tn(t)满足齐次边界条件。

第二步:求系数函数满足的系数方程:

结论:Tn(t)不唯一

第三步:给出系数函数的定解条件以确定系数函数

对于非齐次的边界条件的定解问题的求解,一般的做法是通过引入一个适当的函数使边界条件齐次化,然后通常能得到一个边界条件齐次,泛定方程非齐次的定解问题,即转化为非齐次泛定方程的求解问题

第三章:

本章主要介绍了行波法积分变化法

行波法的一般步骤是:

1. 对自变量作变量替换,然后将变换后的变量带原变量,再利用初值条件得到两个方程组,利用这两个方程组得到F(x)和G(x),再将上式子带入U=F G。

其中达朗贝尔公式为:

三维波动方程的波泊松公式为:

利用球面坐标,可化为:

对于积分变换法,通过取积分变换可将未知函数的常微分方程化成象函数的代数方程,分为傅立叶变换拉普拉斯变换,在偏微分方程两端对某个变量取变换就能消去未知函数对该自变量求偏导数的运算,得到象函数的较为简单的微分方程。如果原来的偏微分方程中只包含有两个自变量,通过一次变换就能得到象函数的常微分方程。

用积分变换法解定解问题的一般步骤为:

一.根据自变量的变化范围以及定解条件的具体情况,选取适当的积分变换,然后对方程的两端取变换,把一个含有两个自变量的偏微分方程化为只含有一个参量的常微分方程

一. 对定解条件取相应的变换,导出新方程的定解条件。

二. 解所得的常微分方程,求得原定解问题解得变换式(即象函数)

三.对所得得变换式取逆变换,得到原定解问题得解。

第四章:

本章主要介绍拉普拉斯方程的格林函数法,我觉得这一章是这本书最难搞懂的,现在还是对这一章的概念模模糊糊,觉得格林公式似乎是很模糊的一个概念,然后这一章也涉及到了较多的积分运算,有时候会一头雾水。

调和函数:拉普拉斯方程的连续解,即具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程

连续函数

第一格林公式:

第二格林公式:

上机调试篇:

在上机课上我们做了热传导,圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题的模拟仿真,还做了傅里叶变换和特殊函数法的仿真。

下面以傅里叶变化的仿真为例子,定解问题为:

边界条件等于sin(x) (0<x<1)

仿真代码为:

xx=-10:.5:10;

tt=0.01:0.1:1;

tau=0:0.01:1;

a=2;

[X,T,TAU]=meshgrid(xx,tt,tau);

F=(1/2/2./sqrt(pi*T).*exp(-(X-TAU).^2/4/2^2./T)).*sin(TAU);

js=trapz(F,3);

waterfall(X(:,:,1),T(:,:,1),js)

figure,

h=plot(xx',js(1,:));

set(h,'erasemode','xor');

for j=2:10

set(h,'ydata',js(j,:));

drawnow;

pause(0.1)

end

我们学习的仿真是基于已经求解出来的解而写出程序来的,以上的程序是基于上述定解的问题的解,即:

而编写出来的.

学习过程中的体会:

刚刚接触这门课的时候,觉得听课听的似懂非懂,由于教材是英文版的原因,前几次课下课后都没怎么看书,一是因为个人的英文水平有限;二是发现老师讲课的顺序跟英文版教材的顺序是不一样的,于是刚开始的时候对课堂上讲的东西并不十分了解,有时候看着明白了,过了一下就忘了;有时候听课的时候会把几次课的内容弄混淆,不明白什么时候用什么方法求解;有的时候还得联系以前学过的知识,如傅里叶变换,正交展开,求解偏微分方程等等,但是由于有部分遗忘了,学习过程中有点吃力。后来买了本中文版的,并且也随着学习的深入,发现每一种方法都是有联系的,比如解齐次的偏微分方程是最简单的,只要用到分离变量,按照四步走的思路就能解出来,然后到非齐次的泛定方程的定解问题,方法是引入一个新的函数,或者利用类似于参数变异法,把非齐次问题看成是齐次问题求解,再利用傅里叶的级数展开组成一个新的定解条件就可以解出来了,再到后来的非齐次的边界条件的处理,是通过转化成齐次的边界条件,从而转化成求解非齐次的泛定方程的问题,所以随着学习了一段日子之后,能隐约的发现所学的是层层递进的,了解了前面的方法,后面的学习就简单了,所以到了后来的行波法,积分变换法都学得比较轻松。

可是到了后来的拉普拉斯方程的格林函数法又一头雾水了,我想可能是因为我的高等数学中的二重积分,三重积分那些地方没有学好吧。

我觉得其实学数学物理方程还是挺有成就感的,从最开始的头晕,到后来的逐渐明晰,是一个很让人满足的事情,在学习的过程中还把高等数学,积分变换,复变函数都拿来看了,我想这就是传说中的“温故知新”吧。

这门课程有点难,而且要对以前的知识融会贯通,虽然对它有点畏惧,但是还是有动力的,每次打开数学物理方程的时候,四个显赫的大字“功在于勤”,每次都会让我有继续看下去的动力和勇气。

高中的时候曾经幻想过上大学就可以摆脱学数学和物理了,可是没想到现在那么多的课程都是跟数学有关系的,很多地方都得运用数学的知识和思路求解问题,我想既然摆脱不了数学,那就好好学吧,深究,数学还是挺有趣的。

四个字鼓励自己:功在于勤.

关于作者: tianqibucuo

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