数学的理解 一般性原理 23 上帝创造的公式：欧拉恒等式

这就是欧拉恒等式。称之为‘上帝创造的公式’，是因为它巧妙地把数学上的五个常数关联在一起：0、1、i、e、π。0是首自然数，1和i分别是实数和虚数单位，e和 π 是两个最著名的无理数。欧拉恒等式究竟表达了什么呢？欲溯其含义，还得从虚数讲起。

虚数

最初虚数的出现，和解方程密切相关。

历史上，人们与虚数的首次不期而遇，是在解一元二次方程的时候。彼时人们的态度是直接无视。因为无法理解负数开平方到底是什么意思，因而简单地处理为方程无解。

16世纪意大利数学家卡尔达诺（也译成卡尔丹）在研究一元三次方程的时候发现，尽管方程的根是实数，但计算的时候，经常遇到负数开平方的情况。虽然他也不明白负数开平方是什么意思，但却往前多迈了一步。他假定：

其它如常运算。计算的结果的确是方程的实根。

人们把形如a＋bi的数叫做虚数，a和b分别叫做虚数的实部和虚部。复数服从实数运算的所有规则，并与实数一起构成一个新的数系，称为复数系：

复平面

注意到一个虚数和一对有序实数(a, b) 之间的一一对应关系，就会明白虚数和平面上的点是一一对应的。这样的平面叫复平面。具体地，在建立了直角坐标系的平面，横轴称为实轴x，纵轴称为虚轴yi，就是一个复平面。如图。

从图易知，复数的三角函数表示法：

如果你对函数的台劳展开比较熟悉的话，就不难知道

复数加法的几何意义：两个复数相加，服从三角形法则。即实部和实部相加，虚部和虚部相加。

复数乘法的几何意义：一个复数z乘以exp(iθ)，相当于将z逆时针旋转θ角。

现在，应该明了欧拉恒等式的几何意义：将（1,0）逆时针旋转180°，就得到（－1,0）。虽然揭开了面纱，平平淡淡，但用等式能把0、1、i、e、π，依然展现了数学的奇妙和美。