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欧垃恒等式(欧拉恒等式的意义)

数学的理解 一般性原理 23 上帝创造的公式:欧拉恒等式

欧垃恒等式(欧拉恒等式的意义)插图

这就是欧拉恒等式。称之为‘上帝创造的公式’,是因为它巧妙地把数学上的五个常数关联在一起:0、1、i、e、π。0是首自然数,1和i分别是实数和虚数单位,e和 π 是两个最著名的无理数。欧拉恒等式究竟表达了什么呢?欲溯其含义,还得从虚数讲起。

虚数

最初虚数的出现,和解方程密切相关。

历史上,人们与虚数的首次不期而遇,是在解一元二次方程的时候。彼时人们的态度是直接无视。因为无法理解负数开平方到底是什么意思,因而简单地处理为方程无解。

16世纪意大利数学家卡尔达诺(也译成卡尔丹)在研究一元三次方程的时候发现,尽管方程的根是实数,但计算的时候,经常遇到负数开平方的情况。虽然他也不明白负数开平方是什么意思,但却往前多迈了一步。他假定:

欧垃恒等式(欧拉恒等式的意义)插图1

其它如常运算。计算的结果的确是方程的实根。

人们把形如a+bi的数叫做虚数,a和b分别叫做虚数的实部和虚部。复数服从实数运算的所有规则,并与实数一起构成一个新的数系,称为复数系:

欧垃恒等式(欧拉恒等式的意义)插图2

复平面

注意到一个虚数和一对有序实数(a, b) 之间的一一对应关系,就会明白虚数和平面上的点是一一对应的。这样的平面叫复平面。具体地,在建立了直角坐标系的平面,横轴称为实轴x,纵轴称为虚轴yi,就是一个复平面。如图。

欧垃恒等式(欧拉恒等式的意义)插图3

从图易知,复数的三角函数表示法

欧垃恒等式(欧拉恒等式的意义)插图4

如果你对函数的台劳展开比较熟悉的话,就不难知道

欧垃恒等式(欧拉恒等式的意义)插图5

复数加法的几何意义:两个复数相加,服从三角形法则。即实部和实部相加,虚部和虚部相加。

复数乘法的几何意义:一个复数z乘以exp(iθ),相当于将z逆时针旋转θ角。

现在,应该明了欧拉恒等式的几何意义:将(1,0)逆时针旋转180°,就得到(-1,0)。虽然揭开了面纱,平平淡淡,但用等式能把0、1、i、e、π,依然展现了数学的奇妙和美。

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